Численный анализ и управление хаосом: исследование систем Лоренца с применением «Visual Basic for Applications».
DOI:
https://doi.org/10.31489/2025N3/156-162Ключевые слова:
аттрактор Лоренца, теория хаоса, нелинейная динамика, численный анализ, Visual Basic for Applications, метод Адамса, метод Крылова, управление хаосом, динамические системыАннотация
В работе рассматриваются численный анализ и управление хаотической динамикой систем Лоренца с использованием Visual Basic for Applications в среде Microsoft Excel для моделирования и визуализации. Хаотические системы, включая аттрактор Лоренца, представляют собой фундаментальную концепцию нелинейной динамики и теории хаоса, характеризующуюся чувствительностью к начальным условиям, нелинейностью и фрактальной размерностью. В исследовании применены численные методы, включая четырехточечный метод Адамса с адаптивным выбором шага, для анализа классических параметров (“s=10, r=28, b=8/3”) и модифицированных значений (“s=15, r=35, b=10/3”). Кроме того, рассмотрена модифицированная система Лоренца с дополнительным членом, демонстрирующая новые режимы динамики. Работа подчеркивает практическую применимость VBA-инструментов для решения нелинейных дифференциальных уравнений и визуализации сложных аттракторов. Результаты показывают эффективность интеграции методов Адамса и Крылова для повышения точности и устойчивости вычислений, что открывает перспективы для использования в прикладных задачах управления хаосом.
Библиографические ссылки
Shen B.-W., Pielke R.A. Sr., Zeng X., Zeng X. (2024) Exploring the Origin of the Two-Week Predictability Limit: A Revisit of Lorenz’s Predictability Studies in the 1960s. Atmosphere, 15, 7, 837. https://doi.org/10.3390/atmos15070837 DOI: https://doi.org/10.3390/atmos15070837
Pikovsky A., Rosenblum M., Kurths J. (2001) Synchronization: A universal concept in nonlinear sciences. New York, Cambridge University Press, 411 p. https://doi.org/10.1017/CBO9780511755743 DOI: https://doi.org/10.1017/CBO9780511755743
Chen G., Yu X. (2003) Chaos Control: Theory and Applications. Berlin, Springer-Verlag, 292, 347. https://doi.org/10.1007/b79666 DOI: https://doi.org/10.1007/b79666
Press W.H., Teukolsky S.A., Vetterling W.T., Flannery B.P. (2007) Numerical recipes: The art of scientific computing (3rd ed.). Cambridge University Press, 1256. Available at: https://numerical.recipes/book.html
Tchoumtcha D.B., Dagang C.T.S., Kenne G. (2024) Synergetic control for stand-alone permanent magnet synchronous generator driven by variable wind turbine. International Journal of Dynamics and Control, 12(7), 2888–2902. https://doi.org/10.1007/s40435-024-01384-w DOI: https://doi.org/10.1007/s40435-024-01384-w
Peng X., Zhou S. (2023) Finite-time stochastic control for complex dynamical systems: The estimate for control time and energy consumption. Systems & Control Letters, 181, 105711. https://doi.org/10.1016/j.syscon.2023.105711 DOI: https://doi.org/10.1016/j.sysconle.2023.105711
Strogatz S.H. (2024) Nonlinear dynamics and chaos: With applications to physics, biology, chemistry, and engineering (3rd ed.). Chapman and Hall/CRC. 616 p. https://doi.org/10.1201/9780429398490 DOI: https://doi.org/10.1201/9780429398490
Hargittai I. (2024) Remembering Benoit Mandelbrot on his centennial – His fractal geometry changed our view of nature. Structural Chemistry, 35(1), 11–24. https://doi.org/10.1007/s11224-024-02290-9 DOI: https://doi.org/10.1007/s11224-024-02290-9
Petrzela J. (2024) Chaotic systems based on higher-order oscillatory equations. Scientific Reports, 14, 21075. https://doi.org/10.1038/s41598-024-72034-6 DOI: https://doi.org/10.1038/s41598-024-72034-6
Ovsyannikov I., Rademacher J.D.M., Welter R., Lu B. (2023) Time averages and periodic attractors at high Rayleigh number for Lorenz-like models. Journal of Nonlinear Science, 33(5), 99. https://doi.org/10.1007/s00332-023-09933-x DOI: https://doi.org/10.1007/s00332-023-09933-x
Neimark Y.I., Landa P.S. (2009) Stochastic and chaotic oscillations. Librocom, 500. https://doi.org/10.1007/978-94-011-2596-3 DOI: https://doi.org/10.1007/978-94-011-2596-3
Nemytsky V.V., Stepanov V.V. (2004) Qualitative theory of differential equations. Editorial URSS. 523. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.07.032 [in Russian]
Tee L.S., Salleh Z. (2013) Dynamical analysis of a modified Lorenz system. Journal of Mathematics, 820946. http://dx.doi.org/10.1155/2013/820946 DOI: https://doi.org/10.1155/2013/820946
Zhou W., Xu Y., Lu H., Pan L. (2008) On dynamics analysis of a new chaotic attractor. Physics Letters A, 372(36), 5773–5777. https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.07.032 DOI: https://doi.org/10.1016/j.physleta.2008.07.032
Spivak-Lavrov I.F., Shugaeva T.Zh., Kalimatov T.S. (2019) Prismatic mass analyzer with the conical achromatic prism and transaxial lenses. International Journal of Mass Spectrometry, 444, 116180. https://doi.org/10.1016/j.ijms.2019.116180 DOI: https://doi.org/10.1016/j.ijms.2019.116180
Spivak-Lavrov I.F. (1995) Mass spectrometer based on cone-shaped achromatic prism. Nuclear Instruments and Methods in Physics Research Section A: Accelerators, Spectrometers, Detectors and Associated Equipment, 636(1), 485–490. https://doi.org/10.1016/0168-9002(95)00267-7 DOI: https://doi.org/10.1016/0168-9002(95)00267-7
Spivak-Lavrov I. F., Baisanov O. A., Shugayeva T.Zh., Urinbaeva G. T. (2021) Time-of-flight mass analyzer based on transaxial mirrors. Acta Physica Polonica B. Proceedings Supplement, 14(4), 857–864. https://doi.org/10.5506/APHYSPOLBSUPP.14.857 DOI: https://doi.org/10.5506/APhysPolBSupp.14.857